问题 解答题
已知A1,A2为双曲线C:
x2
2
-y2=1
的左右两个顶点,一条动弦垂直于x轴,且与双曲线交于P,Q(P点位于x轴的上方),直线A1P与直线A2Q相交于点M,
(1)求出动点M(2)的轨迹方程
(2)设点N(-2,0),过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A,B两点,且满足
NA
NB
,其中λ∈[
1
5
1
3
]
,求出直线AB斜率的取值范围.
答案

(1)设P(x0,y0),Q(x0,-y0),A1(-

2
,0),A2(
2
,0)

直线A1P的方程为:

y
y0
=
x+
2
x0+
2
,(1)

直线A2Q的方程为:

y
-y0
=
x-
2
x0-
2
,(2)

将(1)×(2)得到:

y2
-y02
=
x2-2
x02-2
,又因为
x02
2
-y02=1

所以得到M的轨迹方程为:

x2
2
+y2=1,(y≠0)

(2)

NA
NB
,∴A,B,N三点共线,而点N的坐标为(-2,0).

设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.

y=k(x+2)
x2
2
+y2=1
消去x得(
1
k
y-2)2+2 y2=2
,即
2k2+1
k2
y2-
4
k
y+2=0

根据条件可知

k≠0
4
k
) 2-8•
2k2+1
k2
<0
解得0<|k|<
2
2
(5分)

设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得

y1y2=
4k
2k2+1
y1y2=
2k2
2k2+1

又由

NA
NB
得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2

x1+2=λ(x2+2)
y1y2
从而
(1+λ)y2=
4k
2k2+1
λ
y22
=
2k2
2k2+1
消去y2
(1+λ)2
λ
=
8
2k2+1
消去

∅(λ)=

(1+λ)2
λ
,λ∈[
1
5
1
3
]则(λ)=1- 
1
λ2
 =
λ2-1
λ2

由于

1
5
≤λ≤
1
3
所以∅(λ)是区间[
1
5
1
3
]
上的减函数,

从而∅(

1
3
)≤∅(λ)≤∅(
1
5
),即
16
3
≤∅(λ)≤
36
5

16
3
8
2k2+1
≤  
36
5
,∴
16
3
8
2k2+1
36
5
解得
2
6
≤|k|≤
1
2

0<k<

2
2
,∴
2
6
≤k≤
1
2

因此直线AB的斜率的取值范围是[

2
6
1
2
]

单项选择题
判断题