已知A1,A2为双曲线C:
(1)求出动点M(2)的轨迹方程 (2)设点N(-2,0),过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A,B两点,且满足
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(1)设P(x0,y0),Q(x0,-y0),A1(-
,0),A2(2
,0)2
直线A1P的方程为:
=y y0
,(1)x+ 2 x0+ 2
直线A2Q的方程为:
=y -y0
,(2)x- 2 x0- 2
将(1)×(2)得到:
=y2 -y02
,又因为x2-2 x02-2
-y02=1.x02 2
所以得到M的轨迹方程为:
+y2=1,(y≠0)x2 2
(2)
=λNA
,∴A,B,N三点共线,而点N的坐标为(-2,0).NB
设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.
由
消去x得(y=k(x+2)
+y2=1x2 2
y-2)2+2 y2=2,即1 k
y2-2k2+1 k2
y+2=04 k
根据条件可知
解得0<|k|<k≠0 (
) 2-8•4 k
<02k2+1 k2
(5分)2 2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得y1+ y2= 4k 2k2+1 y1y2= 2k2 2k2+1
又由
=λNA
得(x1+2,y1)=λ(x2+2,y2)NB
从而x1+2=λ(x2+2) y1=λy2
消去y2得(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ
=y 22 2k2 2k2+1
=(1+λ)2 λ
消去8 2k2+1
令∅(λ)=
,λ∈[(1+λ)2 λ
,1 5
]则∅′(λ)=1- 1 3
=1 λ2 λ2-1 λ2
由于
≤λ≤1 5
所以∅(λ)是区间[1 3
,1 5
]上的减函数,1 3
从而∅(
)≤∅(λ)≤∅(1 3
),即1 5
≤∅(λ)≤16 3
,36 5
≤16 3
≤ 8 2k2+1
,∴36 5
≤16 3
≤8 2k2+1
解得36 5
≤|k|≤2 6 1 2
而0<k<
,∴2 2
≤k≤2 6 1 2
因此直线AB的斜率的取值范围是[
,2 6
]1 2