问题
解答题
已知A1,A2为双曲线C:
(1)求出动点M(2)的轨迹方程 (2)设点N(-2,0),过点N的直线交于M点的轨迹上半部分A,B两点,且满足
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答案
(1)设P(x0,y0),Q(x0,-y0),A1(-
2 |
2 |
直线A1P的方程为:
y |
y0 |
x+
| ||
x0+
|
直线A2Q的方程为:
y |
-y0 |
x-
| ||
x0-
|
将(1)×(2)得到:
y2 |
-y02 |
x2-2 |
x02-2 |
x02 |
2 |
所以得到M的轨迹方程为:
x2 |
2 |
(2)
NA |
NB |
设直线AB的方程为y=k(x+2),其中k为直线AB的斜率,依条件知k≠0.
由
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1 |
k |
2k2+1 |
k2 |
4 |
k |
根据条件可知
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| ||
2 |
设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据韦达定理,得
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又由
NA |
NB |
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(1+λ)2 |
λ |
8 |
2k2+1 |
令∅(λ)=
(1+λ)2 |
λ |
1 |
5 |
1 |
3 |
1 |
λ2 |
λ2-1 |
λ2 |
由于
1 |
5 |
1 |
3 |
1 |
5 |
1 |
3 |
从而∅(
1 |
3 |
1 |
5 |
16 |
3 |
36 |
5 |
16 |
3 |
8 |
2k2+1 |
36 |
5 |
16 |
3 |
8 |
2k2+1 |
36 |
5 |
| ||
6 |
1 |
2 |
而0<k<
| ||
2 |
| ||
6 |
1 |
2 |
因此直线AB的斜率的取值范围是[
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6 |
1 |
2 |