已知函数f(x)=13x3-2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲线y=f（x）的所

问题解答题

已知函数f(x)=

x3-2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切线l的方程；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=

x2-2x2+ax，

∴f^/（x）=x²-4x+a．（2分）

∵在曲线y=f（x）的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y=x垂直，

∴x²-4x+a=-1有且只有一个实数根．

∴△=16-4（a+1）=0，

∴a=3．（4分）

∴x=2，f(2)=

．

∴切线l：y-

=-(x-2)，即3x+3y-8=0．（7分）

（Ⅱ）∵f^/（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1．（9分）

∴tanθ≥-1，（10分）

∵θ∈[0，π），

∴θ∈[0，

)∪[

3π

，π)（13分）