问题
解答题
| 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC． （1）求角B的大小； （2）若b2=ac，判断△ABC的形状； （3）求证：
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答案
（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=
，又B为三角形的内角，1 2
则B=
；π 3
（2）∵b2=ac，cosB=
，1 2
∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：ac=a2+c2-ac，
即（a-c）2=0，
∴a=c，又B=
，π 3
则△ABC为等边三角形；
（3）∵C=π-（A+B），B=
，π 3
∴sin（C-
）=sin[π-（A+π 6
）-π 3
]=sin（π 6
-A）=cosA，sinC=sin（A+B），π 2
由正弦定理
=a sinA
=b sinB
化简得：c sinC
=b•sin(C-
)π 6 (2c-a)•cosB
=sinB•sin(C-
)π 6 (2sinC-sinA)•cosB
cosA3 2 sin(A+
)- π 3
sinA1 2
=
=1，
cosA3 2
sinA+1 2
cosA-3 2
sinA1 2
则
为定值．b•sin(C-
)π 6 (2c-a)•cosB