问题
解答题
| 阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------① sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------② 由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③ α+β=A，α-β=B 有α=
代入③得 sinA+cosB=2sin
（1）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
（2）若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用阅读材料及（1）中的结论试判断△ABC的形状． |
答案
（1）证明：因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，------①
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ②
①-②得cos（α+β）-cos（α-β）=-2sinαsinβ③…
令α+β=A，α-β=B有α=
，β=A+B 2
，A-B 2
代入③得cosA-cosB=-2sin
sinA+B 2
．．…（8分）A-B 2
（2）由cos2A+cox2C-cos2B=1得：cos2A-cos2B=2sin2C．
由（1）中结论得：-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin2C，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π，
所以-sin（A+B）sin（A-B）=sin2（A+B）．
又因为0＜A+B＜π，所以sin（A+B）≠0，
所以sin（A+B）+sin（A-B）=0．
从而2sinAcosB=0．…（10分）
又因为sinA≠0，所以cosB=0，即∠B=
．π 2
所以△ABC为直角三角形．…（12分）