证明：

充分性：

∵A=90 °，∴a²=b²+c² ，

于是方程x²+2ax+b²=0 可化为x²+2ax+a²-c²=0.  

∴x²+2ax+(a+c)(a-c)=0，

∴[x+(a+c)][x+(a-c)]=0 ，

∴该方程有两个根x₁=-(a+c) ，x₂=-(a-c).  

同理，另一方程x²+2cx-b²=0 可化为x²+2ex-(a²-e²)=0 ，

∴x²+2cx+(c+a)(c-a)=0 ，    

∴[x+(c+a)][x+(c-a)]=0,    

∴该方程有两个根x₃=-(a+c) ，x₄=-(c-a )．可以发现x₁=x₃ ，

∴这两个方程有公共根，    

必要性：

设α是两方程的公共根，

由①+②得2α²+2α(a+c) =0.    

∵α≠0

∴α=-(a+c)，

将α=-(a+c)代入①得a²=b²+c²．

∴A=90°．    

综上可知，方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是A=90°