问题
解答题
| 抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点． （1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0＞3p； （2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0＜p＜1时，求
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答案
（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px．
得k2x2+（2k2p-4p）x+k2p2=0．
△=4（k2p-2p）2-4k2•k2p2＞0，
得0＜k2＜1．
令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-
，y1+y2=k（x1+x2+2p）=2k2p-4p k2
，4p k
AB中点坐标为（
，2P-k2P k2
）．2p k
AB垂直平分线为y-
=-2p k
（x-1 k
）．2P-k2P k2
令y=0，得x0=
=p+k2P+2P k2
．2P k2
由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p+2p=3p．
∴x0＞3p．
（2）∵l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）．
∴点Nn的坐标为（p+
，0）．2 p2n-1
|NnNn+1|=|（p+
）-（p+2 p2n-1
）|=2 p2n+1
，2(1-p2) p2n+1
=1 |NnNn+1|
，p2n+1 2(1-p2)
所求的值为
[p3+p4++p21]=1 2(1-p2)
．p3(1-p19) 2(1-p)2(1+p)
