在AC上取中点E，则可得

DA

+

DC

=2

DE

且DE平分AC

由

DA

+

DC

=λ

DB

(λ∈R)，

∴B，D，E三点共线

∵BD是∠ABC的平分线

∴BE垂直平分AC，DA=DC

∴△ABC是等腰三角形，且BA=BC，故①正确②不正确

必有f（1）=f（3），f（1）≠f（2）；

①当f（1）=f（3）=1时，f（2）=2、3、4，三种情况．

②f（1）=f（3）=2；f（2）=1、3、4，有三种．

③f（1）=f（3）=3；f（2）=2、1、4，有三种．

④f（1）=f（3）=4；f（2）=2、3、1，有三种．

因而满足条件的函数f（x）有12种．故④正确

由以上情况的讨论可知，A，B，C的坐标情况如下

A（1，1），B（2，2），C（3，1），AB=

2

，AC=2；A（1，1），B（2，3），C（3，1），AB=

5

，AC=2；A（1，1），B（2，4），C（3，1），AB=

10

，AC=2；A（1，2），B（2，1），C（3，2），AB=

2

，AC=2；A （1，2），B（2，3），C（3，2），

AB=

2

，AC=2；A（1，2），B（2，4），C（3，2），AB=

10

，AC=2；A（1，3），B（2，2），C（3，3），AB=

2

，AC=2；

A（1，3），B（2，1），C（3，3），AB=

5

，AC=2；A（1，3），B（2，4），C（3，3），AB=

2

，AC=2；A（1，4），B（2，2），C（3，4），AB=

5

，AC=2；A（1，4），B（2，3），C（3，4），AB=

2

，AC=2；A（1，4），B（2，1），C（3，4），AB=

10

，AC=2

∵BE垂直平分AC，DA=DC

∴

DA

+

DC

=2

DE

由角平分线性质可得，

|BD|

|DE|

=

|AB|

|AE|

=

2|AB|

|AC|

，根据以上情况可求得λ有3个情况，故③正确

故答案为：①③④