问题
解答题
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
答案
见证明
证明:如下图所示,选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴.本题关键是求出圆心O′的坐标.过O′作AC的垂线,垂足为M,M是AC的中点,垂足M的横坐标与O′的横坐标一致.同理可求出O′的纵坐标.
如上图所示,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立直角坐标系.设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
过四边形ABCD外接圆的圆心O′分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别是线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得
x
=xM=
,y=yN=
,xE=
,yE=
.
所以|O′E|=
=
.
又|BC|=,
所以|O′E|=|BC|.