问题
解答题
已知f（θ）=sin2θ+sin2（θ+α）+sin2（θ+β），其中α、β为参数，0≤α＜β≤π．是否存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值？若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．
答案
假设存在这样的α、β，使f（θ）是与θ无关的定值，则令θ=0⇒f（0）=sin2β+siα；
θ=
⇒f(π 2
)=3-sin2β-sin2α；θ=-α⇒f（-α）=sin2（β-α）+sin2α； π 2
θ=-β⇒f（0）=sin2β+sin2（α-β）
由题设得：f(0)=f(
)=f(-α)=f(-β)，π 2
即sin2α=sin2β=sin2(β-α)=
．3 4
又∵0≤α＜β≤π，∴0＜β-α≤π．
即有：sinα=sinβ=sin(β-α)=
⇒3 2
．…（10分）α= π 3 β= 2π 3
而当
时，有f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α= π 3 β= 2π 3
)+sin2(θ+π 3
)=2π 3
．3 2
故存在这样的α、β，即
，使f（θ）是与θ无关的定值．…（12分）α= π 3 β= 2π 3