问题
解答题
已知向量
(I)求
(II)若|k
|
答案
(1)∵
=(cos. a
,sin3θ 2
),3θ 2
=(cos. b
,-sinθ 2
),θ 2
∴
•a
=cosb
cos3θ 2
-sinθ 2
sin3θ 2
=cos2θθ 2
∵|
+a
|2=b
2+a
2+2b
•a
=2+2cos2θ=4cos2θb
∴|
+ a
|=2cosθ,θ∈[0,b
]π 3
∴
=
•a b |
+a
|b
=cos2θ 2cosθ 2cos2θ-1 2cosθ
令t=cosθ,则t∈[
,1],y=1 2
=
•a b |
+a
|b
=t-2t2-1 2t
,t∈[1 2t
,1]1 2
则y′=1+
>01 2t2
∴y=t-
在[1 2t
,1]上单调递增1 2
∴ymax=
,ymin=-1 2 1 2
(2)由|k
+a
|=b
|3
-ka
|可得(kb
+a
)2=3(b
-ka
)2b
即k2
2+a
2+2kb
•a
=3(b
2-2ka
•a
+k2b
2)b
又∵|
|=|a
|=1b
∴k2+1+2k
•a
=3(1+k2-2kb
•a
)b
∴
•a
=b 1+k2 4k
由
•a
=cos2θ,θ∈[0,b
]可得,-π 3
≤1 2
•a
≤1b
∴-
≤1 2
≤11+k2 4k
∴
+1+k2 4k
≥ 01 2
-1≤01+k2 4k
∴
≥0(k+1)2 4k
≤0k2-4k+1 4k
解可得,k=-1或k>0 k<0或2-
≤k≤2+3 3
∴k=-1或2-
≤k≤2+3 3
综上可得,k得取值范围为{k|k=-1或2-
≤k≤2+3
}3