已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且BP•BA=0，

问题解答题

已知点P（3，0），点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且

•

=0，点C满足

，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（1，0）且斜率为k的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D（-1，0），且

•

＞0，求k的取值范围．

答案

（1）设A（a，0）（a＜0），B（0，b），C（x，y）（1分）

则

=（x-a，y），

=（a，-b），

=（3，-b）

∵

•

=0，

∴

3a+b2=0

x-a=2a

y=-2b

（4分）

消去a，b得y²=-4x∵a＜0∴x=3a＜0

故曲线E的方程为y²=-4x（x＜0）（6分）

（2）设直线l方程为y=k（x-1）（7分）

由

y=k(x-1)

y2=-4x

得k²x²-2（k²-2）x+k²=0（8分）

∵直线l交曲线E于不同的两点M、N∴△＞0

即△=4（k²-2）²-4k²k²＞0∴k²＜1①（9分）

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则

=（x₁+1，y₁）

=（x₂+1，y₂）

∴

x1+x2=

2(k2-2)

x1x2=1

∴

•

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=

8k2-4

＞0

解得k²＞

②（11分）

由①②联立解得：

＜k²＜1

∴-1＜k＜-

或

＜k＜1（12分）