问题
解答题
设F1、F2分别是椭圆
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值． |
答案
（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=
，所以，F1(-3
，0)，F2(3
，0)，3
设P（x，y），则
•PF1
=(-PF2
-x，-y)•(3
-x，-y)=x2+y2-3 3
=x2+1-
-3=x2 4
(3x2-8)．1 4
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，
•PF1
有最小值-2．PF2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，
•PF1
有最大值1．PF2
（Ⅱ）设C（x0，y0），B（0，-1），F1(-
，0)，由3
=λBF1
，得 x0=CF1
，y0=-
(1-λ)3 λ
，1 λ
又
+y02=1，所以有 λ2+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）． x02 4
（Ⅲ） 因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|，∴△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8．
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1周长最大，最大值为8．