问题 解答题
已知向量
m
=(2sinx,0),
n
=(sinx+cosx,sinx-cosx),且f(x)=
m
n

(1)求f(x)的最小正周期和最小值;
(2)若f(α)=1,sinβ=
1
3
,0<α<
π
2
<β<π,求cos(2α+β)的值.
答案

(1)∵f(x)=2sinx(sinx+cosx)=2sin2x+2sinxcosx

=1-cos2x+sin2x

=

2
sin(2x-
π
4
)+1,

∴f(x)的最小正周期T=

2
=π,f(x)min=-
2
+1…6分

(2)由f(α)=1得,sin(2α-

π
4
)=0,即2α-
π
4
=kπ,则α=
2
+
π
8
(k∈Z),

又α∈(0,

π
2
),则α=
π
8
…8分

由sinβ=

1
3
,0<α<
π
2
<β<π,得cosβ=-
2
2
3
…10分

∴cos(2α+β)=cos(

π
4
+β)=
2
2
cosβ-
2
2
sinβ=-
2
3
-
2
6
…12分

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