由向量

DE

=

1

2

BC

，可得DE是△ABC的中位线，

设正△ABC的边长为2c，以BC所在直线为x轴，以BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，

则E的坐标为（

c

2

，

3

2

c），

由题意知可设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，

把E的坐标代入双曲线的方程得

c2

4a2

-

3c2

4b2

=1，∴4a⁴-8a²c²+c⁴=0，

∵

c2

a2

＞1，∴

c2

a2

=4+2

3

，∴

c

a

=

3

+1，

故答案为：

3

+1．