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问题 解答题
在平面上，给定非零向量
b
，对任意向量
a
，定义
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），证明：若位置向量
a
的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
a′
的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量
b
，当位置向量
a
的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
a′
终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
b
满足什么关系？
答案

（1）∵

a
=（2，3），
b
=（-1，3），

∴

a
•
b
=7，
|b|
2=10，可得
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2×7
10
（-1，3）=（-
7
5
，
21
5
）

因此

a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（2，3）-（-
7
5
，
21
5
）=（
17
5
，-
6
5
）；

（2）设

a
=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上

算出

a
•
b
=2x'+y'，
|b|
2=5，
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2(2x′+y′)
5
（2，1）=（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
），

∴

a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（x'，y'）-（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
）=（
-3x′-4y′
5
，
-4x′+3y′
5
）

因此，若

a′
=（x，y），满足
x=
-3x′-4y′
5
y=
-4x′+3y′
5
，得到
x′=
-3x-4y
5
y′=
-4x+3y
5

∵点（

-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直线Ax+By+C=0上

∴A×

-3x-4y
5
+B×
-4x+3y
5
+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，

由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程

即向量

a′
的终点也在一条直线上；

（3）∵

b
是单位向量，

∴设

a
=（x，y），
b
=（cosθ，sinθ），可得
a
•
b
=xcosθ+ysinθ，

所以

a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
a
-2（xcosθ+ysinθ）
b
=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）

∵

a
的终点在抛物线x2=y上，且
a′
终点在抛物线y2=x上，

∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，

化简整理，通过比较系数可得cosθ=

2
2
，sinθ=-
2
2
或cosθ=-
2
2
，sinθ=
2
2

∴

b
=±（
2
2
，
2
2
），

∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，

∴l的方向向量

d
=（1，1）．

可得

d
•
b
=0，即
d
⊥
b
，因此直线l与向量
b
垂直．

单项选择题

The nurse is caring for a neonate with a myelomeningocele. The priority nursing care of a neonate with a myelomeningocele is primarily directed toward

A. ensuring adequate nutrition.
B. preventing infection.
C. promoting neural tube sac drainage.
D. conserving body heat.
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问答题

又到病家，纵绮罗满目，勿左右顾眄，丝竹凑耳，无得似有所娱，珍羞迭荐，食如无味，醽醁兼陈，看有若无。《大医精诚》
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