问题
填空题
设A是秩为r的n阶实对称矩阵，满足
A4-3A3+3A2-2A=0．那么，矩阵A的n个特征值是______．
答案
参考答案：2(r重)，0(n-r重)
解析：设λ是矩阵A的任一特征值，α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，即Aα=Aα，α≠0．
那么，Anα=λnα．于是有
(A4-3A3+3A2-2A)α=(λ4-3λ3+3λ2-2λ)α=0．
从而 λ4-3λ3+3λ2-2λ=0，即 λ(λ-2)(λ2-λ+1)=0．
因为实对称矩阵的特征值必为实数，所以矩阵A的特征值只能是2或0．又因为实对称矩阵必可相似对角化，故
[*]
而r(A)=r(Λ)=r，从而矩阵A的特征值是2(r重)，0(n-r重)．