问题
问答题
设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，-1，矩阵A的属于特征值1与2的特征向量分别是α1=(2，3，-1)T与α2=(1，a，2a)T，A*是A的伴随矩阵，求齐次方程组(A* -2E)x=0的通解．
答案
参考答案：由A的特征值是1，2，-l，可知行列式|A|=-2，那么A*的特征值是-2，-1，2．于是所以r(A* -2E)=r(A)=2．那么，(A* -2E)x=0的基础解系由一个线性无关的解向量所构成．
又因矩阵A属于λ=-1的特征向量就是A*属于λ=2的特征向量，亦即A* -2E属于λ=0的特征向量．
由于A是实对称矩阵，不同特征值的特征向量相互正交．设矩阵A属于特征值λ=-1的特征向量是α3=(x1，x2，x3)T，则有
[*]
解析：若α是矩阵A属于特征值λ=0的特征向量，则Aα=0α=0，即α是齐次方程组Ax=0的非零解，反之亦然．在已知条件是特征值、特征向量这一情况下，求齐次方程组的解应考虑λ=0的特征向量．
评注 本题也可以通过特征值、特征向量先把矩阵A反求出来，然后再求A*，进而求方程组的通解，但那样做比较复杂，应当知道AX=0的解与特征向量之间的联系．