问题
问答题
已知3阶矩阵A有三个互相正交的特征向量，证明A是对称矩阵．
答案
参考答案：设α1，α2，α3是矩阵A的相互正交的特征向量，若k1α1+k2α2+k3α3=0，用[*]左乘得
[*]
因为α1≠0，α1与α2，α3均正交，故[*]于是有
k1||α1||2=0．
所以k1=0．类似可知k2=0，k3=0．
即α1，α2，α3线性无关，那么矩阵A有3个线性无关的特征向量，所以矩阵A可以相似对角化．
[*]则Q是正交矩阵，并有Q-1AQ=Λ．
于是 A=QΛQ-1=QΛQT．而 AT=(QΛQT)T=QΛQT=A，即A是对称矩阵．
解析：评注 若A是实对称矩阵，则矩阵A必有n个互相正交的特征向量，请读者根据实对称矩阵的性质把这一点想清楚，现在根据本题我们得到：
A是实对称矩阵[*]A有n个两两正交的特征向量．
因此，当且仅当A是实对称矩阵时，我们才可用正交矩阵将其相似对角化．若A是一般的n阶矩阵，且A有n个线性无关的特征向量，我们仅能用可逆矩阵将其对角化，这里的差异要分清楚．