问题
解答题
| 在平面直角坐标系xoy中，过定点C（p，0）作直线m与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点． （I）设N（-p，0），求
（II）是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． |
答案
（I）依题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：x=my+p
由
⇒y2-2pmy-2p2=0（2分）∴x=my+p y2=2px y1+y2=2pm y1•y2=-2p2 ∴
•NA
=(x1+p，y1)•(x2+p，y2)=(x1+p)(x2+p)+y1y2NB =(my1+2p)(my2+2p)+y1y2=(m2+1)y1y2+2pm(y1+y2)+4p2 =2p2m2+2p2
当m=0时
•NA
的最小值为2p2．（7分）NB
（II）假设满足条件的直线l存在，其方程为x=a，AC的中点为o′，l与以AC为直径的圆
相交于P，Q，PQ中点为H，则o′H⊥PQ，o′的坐标为(
，x1+p 2
)．∵|o′P|=y1 2
|AC|=1 2 1 2
=(x1-p)2+y12 1 2
（9分）x12+p2 ∴|PH|2=|o′P|2-|o′H|2=
(x12+p2)-1 4
(2a-x1-p)21 4 =(a-
p)x1+a(p-a)1 2
∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-
p)x1+a(p-a)]（13分）1 2
令a-
p=0得a=1 2
p．此时|PQ|=p为定值．故满足条件的直线l存在，1 2
其方程为x=
p（15分）1 2