问题 解答题
已知平面内点M(-3,2),N(5,-4),l是经过点A(-1,-2)且与MN垂直的直线,动点P(x,y)满足
PM
PN
=-21

(1)求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程;
(2)在轨迹Σ上任取一点P,求P在直线l右下方的概率.
答案

(1)由题意kMN=

-4-2
5-(-3)
=-
3
4
kl=-
1
kMN
=
4
3
…(2分),

所以直线l的方程为y-(-2)=

4
3
[x-(-1)],即4x-3y-2=0…(3分),

PM
=(-3-x,2-y),
PN
=(5-x,-4-y)
…(4分),

PM
PN
=-21得(-3-x)(5-x)+(2-y)(-4-y)=-21…(5分),

整理得,轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4…(6分)

(2)轨迹Σ是圆心为C(1,-1)、半径r=2的圆…(7分),

C到直线l的距离d=

4×1-3×(-1)-2
5
=1…(8分),

所以d=1<r,直线l与圆Σ相交…(9分),

设交点为E、F,则cos

1
2
∠ECF=
d
r
=
1
2
…(10分),所以∠ECF=
3
…(11分),

所以圆C的优弧EF的长为r•(2π-∠ECF)=

3
…(12分),

因为P在直线l右下方,所以P在优弧EF上,所求概率为P=

3
2πr
=
2
3
…(14分)

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