问题
解答题
已知平面内点M(-3,2),N(5,-4),l是经过点A(-1,-2)且与MN垂直的直线,动点P(x,y)满足
(1)求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程; (2)在轨迹Σ上任取一点P,求P在直线l右下方的概率. |
答案
(1)由题意kMN=
=--4-2 5-(-3)
,kl=-3 4
=1 kMN
…(2分),4 3
所以直线l的方程为y-(-2)=
[x-(-1)],即4x-3y-2=0…(3分),4 3
又
=(-3-x,2-y),PM
=(5-x,-4-y)…(4分),PN
由
•PM
=-21得(-3-x)(5-x)+(2-y)(-4-y)=-21…(5分),PN
整理得,轨迹方程为(x-1)2+(y+1)2=4…(6分)
(2)轨迹Σ是圆心为C(1,-1)、半径r=2的圆…(7分),
C到直线l的距离d=
=1…(8分),4×1-3×(-1)-2 5
所以d=1<r,直线l与圆Σ相交…(9分),
设交点为E、F,则cos
∠ECF=1 2
=d r
…(10分),所以∠ECF=1 2
…(11分),2π 3
所以圆C的优弧EF的长为r•(2π-∠ECF)=
…(12分),8π 3
因为P在直线l右下方,所以P在优弧EF上,所求概率为P=
=8π 3 2πr
…(14分)2 3