问题
选择题
已知向量
|
答案
法一：把
放入平面直角坐标系，使 α
起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则 α
=（1，0）α
设
=（x1，y1），∵|β
-α
|=|β
|，∴x1=β
，∴1 2
=（ β
，y1）1 2
设
=（x，y），则 γ
-α
=（1-x，-y），γ
-β
=（ γ
-x，y1-y）1 2
∵（
-α
）•（ γ
-β
）=0．∴（1-x）（ γ
-x）-y（y1-y）=01 2
化简得，x2+y2-
x-y1y+3 2
=0，也即 (x-1 2
)2+(y-3 4
)2=y1 2 y12+ 1 4 2
点（x，y）可表示圆心在（
，3 4
），半径为 y1 2
的圆上的点，y12+ 1 4 2
|
|=γ
，∴|x2+y2
|最大m=γ
+(
)2+(3 4
)2y1 2
，最小值n=y12+ 1 4 2
-(
)2+(3 4
)2y1 2
．y12+ 1 4 2
∴m-n=
+(
)2+(3 4
)2y1 2
-（ y12+ 1 4 2
-(
)2+(3 4
)2y1 2
）=y12+ 1 4 2 y12+ 1 4
当y12=0时，m-n有最小值为
，1 2
法二：∵|
|=1，α
∴令
=OA
则A必在单位圆上，α
又∵又向量
满足 |β
-α
|=|β
|，β
∴令
=OB
则点B必在线段OA的中垂线上，β
=OC
．γ
又∵(
-α
)•(γ
-β
)=0γ
故C点在以线段AB为直径的圆M上，任取一点C，记
=OC
．γ
故m-n就是圆M的直径|AB|
显然，当点B在线段OA的中点时，（m-n）取最小值 1 2
即（m-n）min=1 2
故选B．
