问题 选择题
已知向量
a
b
c
满足|
a
|=1
|
a
-
b
|=|
b
|
(
a
-
c
)
(
b
-
c
)=0
.若对每一确定的
b
|
c
|
的最大值和最小值分别为m,n,则对任意
b
,m-n的最小值是(  )
A.
1
4
B.
1
2
C.
3
4
D.1
答案

法一:把

α
放入平面直角坐标系,使
α
起点与坐标原点重合,方向与x轴正方向一致,则
α
=(1,0)

β
=(x1,y1),∵|
α
-
β
|=|
β
|
,∴x1=
1
2
,∴
β
=(
1
2
,y1

γ
=(x,y),则
α
-
γ
=(1-x,-y),
β
-
γ
=(
1
2
-x,y1-y)

∵(

α
-
γ
)•(
β
-
γ
)=0.∴(1-x)(
1
2
-x)-y(y1-y)=0

化简得,x2+y2-

3
2
x-y1y+
1
2
=0,也即 (x-
3
4
)
2
+(y-
y1
2
)
2
=
y12+
1
4
2

点(x,y)可表示圆心在(

3
4
y1
2
),半径为
y12+
1
4
2
的圆上的点,

|

γ
|=
x2+y2
,∴|
γ
|
最大m=
(
3
4
)
2
+(
y1
2
)
2
+
y12+
1
4
2
,最小值n=
(
3
4
)
2
+(
y1
2
)
2
-
y12+
1
4
2

∴m-n=

(
3
4
)
2
+(
y1
2
)
2
+
y12+
1
4
2
-(
(
3
4
)
2
+(
y1
2
)
2
-
y12+
1
4
2
)=
y12+
1
4

当y12=0时,m-n有最小值为

1
2

法二:∵|

α
|=1,

∴令

OA
=
α
则A必在单位圆上,

又∵又向量

β
满足 |
α
-
β
|=|
β
|

∴令

OB
=
β
则点B必在线段OA的中垂线上,

OC
=
γ

又∵(

α
-
γ
)•(
β
-
γ
)=0

故C点在以线段AB为直径的圆M上,任取一点C,记

OC
=
γ

故m-n就是圆M的直径|AB|

显然,当点B在线段OA的中点时,(m-n)取最小值

1
2

即(m-n)min=

1
2

故选B.

问答题
单项选择题