（本题满分14分）

（1）∵

a

=(sinx，x)，

b

=(1，-cosx)，f(x)=

a

•

b

且x∈（0，2π），

∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），

∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，

由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，

∴x∈（0，π），f'（x）＞0，则f（x）单调递增；

当x∈（π，2π），f'（x）＜0，则f（x）单调递减．

∴x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．…（4分）

此时

a

=（sinπ，π）=（0，π），

b

=（1，-cosπ）=（1，1）

∴cosθ=

a • b

| a || b |

=

0+π

π• 2

=

2

2

，

∵0≤θ≤π，∴θ=

π

4

．…（6分）

（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）内的极大值点．

且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．

∴x∈（0，π）时，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，

得x₀∈（π，2π），

∴x∈（0，x₀）时，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集为（0，x₀）．…（9分）

（3）令h(x)=

f ′(x)

x2

=

xsinx

x2

=

sinx

x

，

∵h′(x)=

xcosx-sinx

x2

=

-f(x)

x2

，

∴h′（x）=0，得x=x₀，

∴x∈（0，x₀），f（x）＞0，得h′（x）＜0，则h（x）单调递减，

当x∈（x₀，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，则h（x）单调递增，

∴x=x₀是h（x）在（0，2π）内的极小值，且h（x₀）为唯一极值，即为最小值，

此时f（x）=f（x₀）=0，即

a

•

b

=0，

∴

a

⊥

b

．