经过A（2，0），以（2cosθ-2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（-2，

问题解答题

经过A（2，0），以（2cosθ-2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（-2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．
（I）求点M（x，y）的轨迹方程；
（II）设（I）中轨迹为曲线C，F1(-

，0)，F2(

，0)，若曲线C内存在动点P，使得|PF₁|、|OP|、|PF₂|成等比数列（O为坐标原点），求

PF1

•

PF2

的取值范围．

答案

（I）

=(2-x，0-y)，（2-x）sinθ+y（2cosθ-2）=0⇒（x-2）sinθ=y（2cosθ-2）①

同理（-2-x）sinθ+y（2cosθ+2）=0⇒（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②

①×②得x²-4=-4y²

即

+y2=1；

（II）设p（x₀，y₀），则

＜1③

|OP|2=|PF1|•|PF2|⇒

(x0+

)2+

•

(x0-

)2+

化简得：

④

④代入③得0≤

＜

1•

2=(-

-x0，-y0)•(

-x0，-y0)=

-3=2

0≤

＜

⇒-

≤2

＜-