已知A（a，a2）为抛物线y=x2上任意一点，直线l为过点A的切线，设

问题解答题

已知A（a，a²）为抛物线y=x²上任意一点，直线l为过点A的切线，设直线l交y轴于点B，P∈l，且

．当A点运动时，求点P的轨迹方程；求点C(0，

)到动直线l的最短距离，并求此时l的方程．

答案

（1）设P（x，y）因为y_A′=2x|_x=a=2a，所以过点A的切线方程为y-a²=2a（x-a）．

令x=0，则y=-a²，B点坐标为（0，-a²），

又

，

=（x-a，y-a²），

=（-x，-a²-y）

∴

x-a=-2x

y-a2=2(-a2-y)

化简得，

y=-

消去a，得y=-3x^{2
∴点P的轨迹方程为y=-3x²
（2）设C到l的距离为d，则d=
1
12
+a2
4a2+1
=1
4
[
4a2+1
-2
3
4a2+1
]
设
4a2+1
=t(t≥1)，则d=1
4
(t-2
3
•1
t
)，d为t的增函数，
∴dmin=
1
4
(1-2
3
)=1
12
故C到l的最短距离为
1
12
，此时l的方程为y=0．}