问题
解答题
已知函数f（x）=2
（Ⅰ）求常数m的值； （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=3sinC，△ABC面积为
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答案
（1）由于 f(x)=2
sinx•cosx+2cos2x+m=2sin(2x+3
)+m+1，-----（2分）π 6
因为x∈[0 ，
]，所以2x+π 3
∈[π 6
， π 6
]．-------（3分）5π 6
因为函数y=sint在区间[
， π 6
]上是增函数，在区间[π 2
， π 2
]上是减函数，5π 6
所以当2x+
=π 6
，即x=π 2
时，函数f（x）在区间[0 ， π 6
]上取到最大值为2．----（5分）π 3
此时，f(x)max=f(
)=m+3=2，得m=-1．-------（6分）π 6
（2）因为f（A）=1，所以2sin(2A+
)=1，π 6
即sin(2A+
)=π 6
，解得A=0（舍去）或A=1 2
．----（8分）π 3
因为sinB=3sinC，
=a sinA
=b sinB
，所以b=3c．①-------（10分）c sinC
因为△ABC面积为
，所以S=3 3 4
bcsinA=1 2
bcsin1 2
=π 3
，即bc=3．-----②3 3 4
由①和②解得b=3，c=1．-------（12分）
因为a2=b2+c2-2bc•cosA=32+12-2×3×1×cos
，所以a=π 3
．---（14分）7