问题 解答题
椭圆
 x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
2
,右焦点到直线x+y+
6
=0
的距离为2
3
,过M(0,-1)的直线l交椭圆于A,B两点.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 若直线l交x轴于N,
NA
=-
7
5
NB
,求直线l的方程.
答案

(Ⅰ)设右焦点为(c,0)(c>0)

∵右焦点到直线x+y+

6
=0的距离为2
3

|c+
6
|
2
=2
3

c=

6

∵椭圆

 x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
3
2

c
a
=
3
2

a=2

2

b=

a2-c2
=
2

∴椭圆的方程为

x2
8
+
y2
2
=1;

(Ⅱ)设A (x1,y1),B(x2,y2),N(x0,0)

NA
=-
7
5
NB

(x1-x0y1)=-

7
5
(x2-x0,y2

y1=-

7
5
y2

易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立

于是设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).

与椭圆方程联立

y=kx-1
x2
8
+
y2
2
=1
,消去x可得(4k2+1)y2+2y+1-8k2=0②

y1+y2=-

2
4k2+1
y1y2=
1-8k2
4k2+1

由①③可得y2=

5
4k2+1
y1=-
7
4k2+1
代入④整理可得:8k4+k2-9=0

∴k2=1

此时②为5y2+2y-7=0,判别式大于0

∴直线l的方程为y=±x-1

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