设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形，又A*α=α，其中α

问题问答题

设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX经过正交变换化为标准形

，又A^*α=α，其中α=(1，1，-1)^T．
1.求矩阵A；

答案

参考答案：显然A的特征值为λ₁=2，λ₂=-1，λ₃=-1，|A|=2，伴随矩阵A^*的特征值为μ₁=1，μ=-2，μ₃=-2．由A^*α=α得AA^*α=Aα，即Aα=2α，。即α=(1，1，-1)^T是矩阵A的对应于特征值λ₁=2的特征向量．
令ζ=(x₁，x₂，x₃)^T为矩阵A的对应于特征值λ₂=-1，λ₃=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以α^Tζ=0，即x₁+x₂-x₃=0，于是λ₂=-1，λ₃=-1对应的线性无关的特征向量为