问题 解答题
在直角坐标系中,角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,函数f(x)=
OA
 • 
OB
,若f(x)≤f(
π
6
)
对x∈R恒成立.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的对称轴与单调递减区间.
答案

(1)∵角φ、2x的终边分别与单位圆(以原点O为圆心)交于A、B两点,

OA
=(cosφ,sinφ),
OB 
=(cos2x,sin2x)

f(x)=

OA
 • 
OB
=cosφcos2x+sinφsin2x=cos(2x-φ)

f(x)≤f(

π
6
)对x∈R恒成立,

f(

π
6
)=1,即cos(2×
π
6
-φ)=1

φ-

π
3
=2kπ

∴φ=2kπ+

π
3
,k∈Z

∴f(x)=cos[2x-(2kx+

π
3
)]=cos(2x-
π
3
),

即函数f(x)的解析式为f(x)=cos(2x-

π
3

(2)由(1)知,f(x)=cos(2x-

π
3
),

令2x-

π
3
=kπ,k∈Z,得x=
2
+
π
6
,k∈Z,

∴f(x)的对称轴为x=

2
+
π
6
,k∈Z,

∵2kπ≤2x-

π
3
≤2kπ+π,k∈Z,

+

π
6
≤x≤kπ+
3
,k∈Z,

故函数f(x)的单调递减区间为[kπ+

π
6
,kπ+
3
],k∈Z,

多项选择题 案例分析题

患者女,51岁。一个月前出现腹胀,伴恶心,厌油腻,食欲差,无呕吐、反酸、嗳气,尿色有所加深,无腹痛、腹泻;无发热。十余天前出现中上腹痛,为持续性绞痛,向后背、双侧肩部放射,弯腰、按压后疼痛减轻,仰卧后疼痛加剧。三天前患者自觉皮肤黄染,伴瘙痒,尿色加深,无大便颜色变浅。患者自发病以来,体重下降10余千克。既往高血压史4年余,否认糖尿病病史。查体:T36.5℃,BP130/85mmHg,全身皮肤、巩膜黄染,浅表淋巴结未及肿大;双肺呼吸音粗,未及干湿性啰音,心率86次/分,律齐,未及心脏杂音;腹软,中上腹触诊饱满,无压痛,反跳痛及肌紧张,肝脾肋下未及,Murphy征(-),移动性浊音(-),肠鸣音5次/分;双下肢无水肿。

提示实验室检查提示:IgG43890mg/L,ANA阳性,ACA-Ⅱ阳性;ER-CP(图64、图65):胆总管节段性狭窄,继发近侧肝内外管扩张,胰管粗细不均,内欠光滑。超声内镜可见胰腺弥漫肿大,胰腺实质粗糙,呈不均匀斑片状改变,无钙化及囊肿。胰腺组织活检:被膜纤维性增厚,其下少许胰腺腺泡;被膜内和腺泡间灶状淋巴细胞、浆细胞浸润;免疫组化显示大量IgG4阳性胰腺细胞(图66、图67)。该患者的主要治疗措施包括()。

A.硫唑嘌呤

B.放射治疗

C.乌司他丁

D.胆汁引流术

E.糖皮质激素

F.胰岛素

G.注射用头孢哌酮钠舒巴坦钠(舒普深)

H.根治性手术

I.细胞过激免疫治疗

单项选择题