问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）若tanx=-2，求f（x）的值 （2）求函数y=cotx[f（x）]的定义域和值域． |
答案
（1）f（x）=
=1-sin2x 1-cos2(
-x)π 2
=(sinx-cosx)2 1-sin2x sin2x-2sinxcosx+cos2x cos 2x
∴f（x）=tan2x-2tanx+1
∵tanx=-2，
∴f（x）=（-2）2-2×（-2）+1=9；
（2）y=cotx[f（x）]=cotx（tan2x-2tanx+1）=tanx+cotx-2
∵要使tanx、cotx有意义，须满足x≠
+kπ且x≠kπ，k∈Zπ 2
∴函数y=cotx[f（x）]的定义域为{x|x≠
kπ，k∈Z}1 2
∵|tanx+cotx|≥2
=2tanx•cotx
∴tanx+cotx≥2或tanx+cotx≤-2
由此可得y=tanx+cotx-2的取值范围为（-∞，-4]∪[0，+∞）
综上所述，函数y=cotx[f（x）]的定义域是{x|x≠
kπ，k∈Z}，值域为（-∞，-4]∪[0，+∞）．1 2