问题
解答题
已知二次函数f （x）=x2+mx+n对任意x∈R，都有f （-x）=f （2+x）成立，设向量
（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间； （Ⅱ）当x∈[0，π]时，求不等式f （
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答案
（Ⅰ）设f（x）图象上的两点为A（-x，y1）、B（2+x，y2），
因为
=1(-x)+(2+x) 2
f （-x）=f （2+x），所以y1=y2
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
∴x≥1时，f（x）是增函数；x≤1时，f（x）是减函数，
∴函数的单调增区间是[1，+∞）；单调减区间是（-∞，1]．
（Ⅱ）∵
•a
=（sinx，2）•（2sinx，b
）=2sin2x+1≥1，1 2
•c
=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，d
∵f（x）在是[1，+∞）上为增函数，
∴f （
•a
）＞f （b
•c
）⇔f（2sin2x+1）＞f（cos2x+2）d
⇔2sin2x+1＞cos2x+2⇔1-cos2x+1＞cos2x+2
⇔cos2x＜0⇔2kπ+
＜2x＜2kπ+π 2
，k∈z3π 2
⇔kπ+
＜x＜kπ+π 4
，k∈z3π 4
∵0≤x≤π，∴
＜x＜π 4 3π 4
综上所述，不等式f （
•a
）＞f （b
•c
）的解集是：{ x|d
＜x＜π 4
}．3π 4