我国北方常遭遇严重的沙尘暴天气．所谓沙尘暴可简化为如下情景：快速向上刮起的大风将大量沙尘颗粒扬起后悬浮在空中，可视为这时风对沙尘的作用力与沙尘的重力平衡．已知风对沙尘粒作用力大小的可近似表达为 f=
ρπr
2 v
2，式中ρ
空为空气密度，r为沙尘粒的半径（沙尘粒可近似看成球体，且体积V=
πr
3），v为风速．如果沙尘粒的密度ρ
沙=3×10
3kg/m
3，沙尘粒的半径r=2.5×10
-4m，地面的空气密度ρ
空=1.25kg/m
3，若空气密度ρ
空 随地面高度h的变化关系为每升高1km，空气密度减少0.2kg/m
3（g取10m/s
2）．求：
（1）要形成沙尘暴现象，地面的风速至少为多少？
（2）当地面风速为8m/s时，沙尘暴的最大高度为多少？
（1）沙尘颗粒受重力G=mg=ρ沙Vg=ρ沙
πr
3g与空气作用力为f=
πρ
空r
2v
2作用而平衡，
在地面附近空气密度ρ0=1.25kg/m3，由平衡条件得：ρ沙
πr
3g=
ρ
空πr
2v
2，
则v=
=
| | 8×3×103kg/m3×2.5×10-4m×10N/kg | | 3×1.25kg/m3 |
|
=4m/s；
（2）当风速v=8m/s时，由ρ沙
πr
3g=
ρ
空′πr
2v
2，得：
其中ρ空′=ρ空-kh
故h=
-
=
km-
km=4.7km
答：（1）要形成沙尘暴现象，地面的风速至少为4m/s；
（2）当地面风速为8m/s时，沙尘暴的最大高度为4.7km．
