边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2-（k+2）x+4k=0

问题解答题

边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x²-（k+2）x+4k=0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．

答案

设直角边为a，b，（a＜b）则a+b=k+2，ab=4k，

因方程的根为整数，故其判别式为平方数，

设△=（k+2）²-16k=n²⇒（k-6+n）（k-6-n）=1×32=2×16=4×8，

∵k-6+n＞k-6-n，

∴

k-6+n=32

k-6-n=1

或

k-6+n=16

k-6-n=2

或

k-6+n=8

k-6-n=4

，

解得k1=

（不是整数，舍去），k₂=15，k₃=12，

当k₂=15时，a+b=17，ab=60⇒a=5，b=12，c=13，

当k₃=12时，a+b=14，ab=48⇒a=6，b=8，c=10．

∴当k=15时，三角形三边的长为：5，12，13．

当k=12时，三角形三边的长为：6，8，10．