不存在．

∵x+y=

n+1 - n

n+1 + n

+

n+1 + n

n+1 - n

=(

n+1

-

n

)2+(

n+1

+

n

)²

=n+1-2

n(n+1)

+n+n+1+n+2

n(n+1)

=4n+2．

xy=

n+1 - n

n+1 + n

•

n+1 + n

n+1- n

=1．

假设存在n使代数式19x²+36xy+19y²的值为1998．

即19x²+36xy+19y²=1998．

19x²+19y²=1962，（x²+y²）=

1 962

19

．

（x+y）²=

1 962

19

+

38

19

=

2 000

19

.   x+y=

2 000 19

=

20 95

19

．

由已知条件，得x+y=2（2n+1）．

∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，

∴x+y=

20 95

19

不为整数．

∴不存在这样的自然数n．