（Ⅰ）由题意得

a

•

b

= (sin

A+B

2

，cos

A-B

2

-

3 2

4

)•(

5

4

sin

A+B

2

，cos

A-B

2

+

3 2

4

)=0

即

5

4

sin 2

A+B

2

+cos 2

A-B

2

-

9

8

=0，

-5cos（A+B）+4cos（A-B）=0

cosAcosB=9sinAsinB

∴tanA•tanB=

1

9

．

（2）由于tanA•tanB=

1

9

＞0，且A、B是△ABC的内角，

∴tanA＞0，tanB＞0

∴tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-

9

8

(tanA+tanB)≤-

9

8

×2

tanA•tanB

=-

3

4

当且仅当 tanA=tanB=

1

3

取等号．

∴c为最大边时，有tanA=tanB=

1

3

，tanC=-

3

4

，

∴sinC=

3

5

，sinA=

1

10

由正弦定理得：

c

a

=

sinC

sinA

=

3 5

1 10

=

3 10

5

．