（1）设椭圆的焦距为2c，

因为

c

a

=

6

3

，所以有

a2-b2

a2

=

2

3

，故有a²=3b²．

从而椭圆C的方程可化为x²+3y²=3b²                                        ①

∴右焦点F的坐标为（

2

b，0），

据题意有AB所在的直线方程为：y=x-

2

b．②

由①，②有：4x2-6

2

bx+3b2=0．③

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB的中点N（x₀，y₀），由③及韦达定理有：x0=

3 2

4

b，y0=x0-

2

b=-

2

4

b

所以kON=

y0

x0

=-

1

3

，即为所求．…（6分）

（2）证明：显然

OA

与

OB

可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量

OM

，有且只有一对实数λ，μ，使得等式

OM

=λ

OA

+μ

OB

成立．

设M（x，y），由（1）中各点的坐标有：（x，y）=λ（x₁，y₁）+μ（x₂，y₂），

故x=λx₁+μx₂，y=λy₁+μy₂．…（8分）

又因为点M在椭圆C上，所以有(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2

整理可得：λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ（x₁x₂+3y₁y₂）=3b²．④

由③有：x1+x2=

3 2

2

b，x1x2=

3

4

b2．

所以x₁x₂+3y₁y₂=3b²-9b²+6b²=0   ⑤

又点A，B在椭圆C上，故有x12+3y12=x22+3y22=3b²．⑥

将⑤，⑥代入④可得：λ²+μ²=1．…（13分）