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问题 解答题
设
a
=(cos(θ-
π
6
) ，sin(θ-
π
6
)) ，
b
=(2cos(θ+
π
6
)，2sin(θ+
π
6
))．
（1）若向量(2t
b
+7
a
)与向量(
b
+t
a
)的夹角为锐角，求实数t的取值范围；
（2）当t在区间（0，1]上变化时，求向量2t
b
+
m
t
a
(m为常数，且m＞0）的模的最小值．
答案

（1）由题设易得|

a
|=1，|
b
|=2，
a
•
b
=2cos[(θ-
π
6
)-(θ+
π
6
)]=2cos(-
1
3
π)=1 

∴(2t

b
+7
a
)•(
b
+t
a
)=2t|
b
|2=2t|
b
 |2+2t
a
•
b
+7
a
•
b
+7t|
a
|  2＞0

整理可得，2t2+15t+7＞0

∴t＞-

1
2
 或 t＜-7

又当2t

b
+7
a
与b+t
a
共线时，不满足题意．

令2t

b
+7
a
=λ(
b
+t
a
)

则

2t=λ
7=tλ
∴t=±
14
2

∴t＞-

1
2
 或 t＜-7，且t≠±
14
2
         （6分）

（2）∵(2b

t
+
m
t
a
)2=4t2|
b
|2+4m
a
•
b
+
m2
t2
|
a
|2

=16t2+

m2
t2
+4m

令y=16t2+

m2
t2
+4m t∈（0，1]

∵y=16t2+

m2
t2
+4m≥8m+4m=12m

当且仅当t=

m
2

于是①当

m
2
∈(0，1] 即 0＜m≤4时

当且仅当t=

m
2
时，ymin=12m．从而|2t
b
+
m
t
a
|=2
3m

②当

m
2
＞1 即m＞4时

可证 y=16t2+

m2
t2
+4m在（0，1]为减函数

从而当t=1时，ymin=m2+4m+16

∴|2t

b
+
m
t
a
| min=
m2+4m+16
                （6分）

选择题

俄罗斯海岸线漫长，在四大洋中不濒临的大洋只有一个，这个大洋是（  ）

A．太平洋

B．北冰洋

C．大西洋

D．印度洋
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单项选择题

（）状态下应减少膨胀阀的流量

A.当压缩机油镜出现雨丝装的油往下掉

B.吸气压力较正常范围偏低

C.蒸发温度偏低

D.蒸发器翅片结冰
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