问题
解答题
已知A、B、C是直线l上的三点，向量
（1）求y=f（x）的表达式； （2）若函数f（x）在[1，∞]上为增函数，求a的范围； （3）当a=1时，求证lnn＞
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答案
（1）∵
-（y+1-lnx）OA
+OB 1-x ax
=OC
，0
∴
=（y+1-lnx）OA
-OB 1-x ax
，OC
∵A，B，C三点共线
∴（y+1-lnx）-
=11-x ax
∴y=lnx+
；1-x ax
（2）f（x）=lnx+
，∴f′（x）=1-x ax
-1 x 1 ax2
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴
-1 x
≥0在[1，+∞）上恒成立1 ax2
∴a≥1 x
∵
≤1，∴a≥1；1 x
（3）证明：当a=1时，f（x）=lnx+
-11 x
由（2）知，x∈[1，+∞）时，f（x）≥f（1）=0
∴lnx≥1-
（当且仅当x=1时取“=”）1 x
将x用
替代得lnn n-1
＞1-n n-1
=n-1 n 1 n
∴ln
+ln2 1
+…+ln3 2
＞n n-1
+1 2
+1 3
+…+1 4 1 n
∴lnn＞
+1 2
+1 3
+…+1 4 1 n