问题 解答题
(附加题)已知圆O:x2+y2=4与x轴正半轴交于点A,在圆上另取两点B,C,使∠BAC=
π
4
,平面上点G满足
GA
+
GB
+
GC
=
0
,求点G的轨迹方程.
答案

法1:由

GA
+
GB
+
GC
=
0
,知点G即△ABC的重心,

圆O:x2+y2=4与x轴正半轴交于点A,

易知A(2,0)因为B、C在圆x2+y2=4上,故设点B(2cosθ,2sinθ).

∠BAC=

π
4
,则∠B0C=
π
2

则点C的坐标为(2cos(θ+

π
2
),2sin(θ+
π
2
)),

由重心坐标公式得轨迹的参数方程:

x=
1
3
(2+2cosθ+2cos(θ+
π
2
))
y=
1
3
(2sinθ+2sin(θ+
π
2
))
(θ为参数)

x=
1
3
(2+2cosθ-2sinθ)
y=
1
3
(2sinθ+2cosθ)

化为普通方程是:(x-

2
3
)2+y2=
8
9
,轨迹为以点(
2
3
,0)
为圆心,
2
2
3
为半径的圆.

法2:由∠BAC=

π
4
,则∠B0C=
π
2
,设BC的中点为P,易求得OP=
2

故点P的轨迹方程为x2+y2=2,

连接AP,因为点G为△ABC的重心,所以点G为AP的一个三等分点.

由坐标转移法同理求得点G的轨迹方程为:(x-

2
3
)2+y2=
8
9

计算题
判断题