问题
解答题
已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，
（1）求椭圆方程； （2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值； （3）试探究椭圆上是否存在一点P，使
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答案
（1）由题意设椭圆标准方程为
+x2 a2
=1．y2 b2
由已知得，b=
，e=5
=c a
．（2分）6 6
则e2=
=c2 a2
=1-a2-b2 a2
，∴1-b2 a2
=5 a2
．解得a2=6（4分）1 6
∴所求椭圆方程为
+x2 6
=1（5分）y2 5
（2）令M（x1，y1），则S△MF1F2=
|F1F2|•|y1|=1 2
•2•|y1|（7分）1 2
∵点M在椭圆上，∴-
≤y1≤5
，故|y1|的最大值为5
（8分）5
∴当y1=±
时，S△MF1F2的最大值为5
．（9分）5
（3）假设存在一点P，使
•PF1
=0，PF2
∵
≠PF1
，0
≠PF2
，∴0
⊥PF1
，（10分）PF2
∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）
又∵|PF1|+|PF2|=2a=2
②（12分）6
∴②2-①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴
|PF1|•|PF2|=5，（13分）1 2
即S△PF1F2=5，由（1）得S△PF1F2最大值为
，故矛盾，5
∴不存在一点P，使
•PF1
=0．（14分）PF2