∵

1+ 1 n2 + 1 (n+1)2

=1+

1

n

-

1

n+1

，

∴原式=1+

1

1

-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

2007

-

1

2008

+1+

1

2008

-

1

2009

，

=2009-

1

2009

；

∴S＜2009，

∴不超过S的最大整数[S]是2008．