（1）抛物线y²=4x的焦点F的坐标是 （1，0），设点M（x₀，y₀），其中x₀≥0．

因为 

FM

=(x0-1，y0)，

OM

=(x0，y0)，所以，

FM

•

OM

=x0(x0-1)+

y

20

=

x

20

+3x0=4，

解得 x₀=1，或 x₀=-4（舍）． 因为 y₀²=4x₀，所以，y₀=±2，即点M的坐标为（1，2），（1，-2）．

（2）设点M（x，y），其中x≥0，

| OM |

| FM |

  =  

x2+y2

(x-1)2+y2

  =  

x2+4x (x+1)2

  =  

-3 (x+1)2 + 2 x+1 +1

．

设 t=

1

x+1

(0＜t≤1)，则 

| OM |

| FM |

  =  

-3t2+2t+1

  =  

-3(t- 1 3 )2+ 4 3

．

因为 0＜t≤1，所以，当 t=

1

3

（即x=2）时，

| OM |

| FM |

取得最大值

2 3

3

．