问题
解答题
已知P为椭圆9x2+2y2=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且
（Ⅰ）求曲线E的方程； （Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交点A、B，且
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答案
（I）设点P（x0，y0）是椭圆上一点，
则Q（x0，0），M（x，y），
=(x-x0，y-y0)，PM
=(x0-x，-y)．MQ
∵
=2PM
，（1分）MQ
∴x-x0=2(x0-x) y-y0=-2y.
∴
即点P的坐标为（x，3y）．（3分）x0=x y0=3y
点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x2+18y2=18．
即曲线E的方程为x2+2y2=2．（5分）
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=x+m与9x2+18y2=18联立y=x+m x2+2y2=2.
去y，得3x2+4mx+2m2-2=0．
由△=（4m）2-12（2m2-2）＞0，解得0≤m2＜3．
x1+x2=-
，x1•x2=4m 3
．（7分）2m2-2 3
由
•OA
＞OB
得x1•x2+y1•y2＞2 3
．2 3
而x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）•（x2+m）
=2x1x2+m（x1+x2）+m2=2×
+m(-2m2-2 3
)+m2=m2-4m 3
（10分）4 3
∴m2-
＞4 3
，即m2＞2，又0≤m2＜3，2 3
∴2＜m2＜3．
∴实数m的取值范围是(-
， -3
)∪(2
， 2
)．（12分）3