问题
解答题
设
（1）求f（k）的表达式． （2）求f（k）的值域及夹角θ=60°时的k值． （3）在（1）的条件下解关于k的不等式：f[f(k)]＜
|
答案
（1）∵
⊥a
∴b
•a
=0，b
∵|
|=|a
|=1b
∴
•m
=(kn
+a
)(b
+ka
)=kb
2+(1+k2 )a
•a
+kb
2=2kb
∵|
|2=(km
+a
)2=1+k2，同理可得|b
|2=n 1+k2
∴f（k）=cosθ=
=
•m n |
| |m
|n
（k＞0）…（4分）2k 1+k2
（2）因为1+2k2≥2k当且仅当k=1时等号成立
所以f（k）∈（0，1]，
当θ=60°时，cosθ=
=2k 1+k2 1 2
∴k=2±
（8分）3
（3）由（1）可得f[f（k）]=f（
）=2k 1+k2
=2× 2k 1+k2 1+(
)22k 1+k2
＜4k(1+k2) 1+6k2+k4 -3ak2+(4+a2)k 1+6k2+k4
⇔4k3+4k＜-3ak2+（4+a2）k
⇔k（4k2+3ak-a2）＜0
⇔4k(k+a)(k-
)＜0，a 4
∵k＞0
当a＞0时，解可得0＜k＜a 4
当a=0时，解为k＜0且k＞0，此时k不存在
当a＜0时，解为0＜k＜-a
综上所述：当a＞0时，解集为{k|0＜k＜
}；a 4
当a=0时，解集为∅
当a＜0时，解集为{k|0＜k＜-a}（12分）