问题 解答题
已知:△ABC为直角三角形,∠C为直角,A(0,-8),顶点C在x轴上运动,M在y轴上,
.
AM
=
1
2
.
AB
+
.
AC
),设B的运动轨迹为曲线E.
(1)求B的运动轨迹曲线E的方程;
(2)过点P(2,4)的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N,且满足
.
QP
=
.
PN
,求直线l的方程.
答案

(1)由

AM
=
1
2
(
AB
+
AC
)可得M为BC的中点(2分)

设B(x,y),则M(0,

1
2
y),C(-x,0)(4分)

∵C为直角,故

CB
CA
=0

CB
=(2x,y),
CA
=(x,-8)

∴2x2-8y=0即x2=4y(5分)

B的轨迹曲线E的方程为x2=4y((x≠0)6分)

(2)∵

QP
=
PN

P是QN的中点

设Q(x1,y1),N(x2,y2),线段QN的 中点P(2,4)

设L:y-4=k(x-2)

方法一:则x12=4y1x22=4y2

两式相减可得,4(y1-y2)=(x1-x2)(x1+x2)(8分)

∴直线l的斜率k=

y1-y2
x1-x2
=
x1+x2
4
=1(11分)

直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0

方法二:联立直线与曲线方程

y-4=k(x-2)
x2=4x
可得x2-4kx+8k-16=0(*)

△=16(k2-2k+4)>0,显然方程(*)有2个不相等的实数根(8分)

∴x1+x2=4k=4

∴k=1

∴直线L的方程为x-y+2=0(12分)

单项选择题
单项选择题 A1/A2型题