问题
解答题
已知:△ABC为直角三角形,∠C为直角,A(0,-8),顶点C在x轴上运动,M在y轴上,
(1)求B的运动轨迹曲线E的方程; (2)过点P(2,4)的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N,且满足
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答案
(1)由
=AM
(1 2
+AB
)可得M为BC的中点(2分)AC
设B(x,y),则M(0,
y),C(-x,0)(4分)1 2
∵C为直角,故
•CB
=0CA
∵
=(2x,y),CB
=(x,-8)CA
∴2x2-8y=0即x2=4y(5分)
B的轨迹曲线E的方程为x2=4y((x≠0)6分)
(2)∵
=QP PN
P是QN的中点
设Q(x1,y1),N(x2,y2),线段QN的 中点P(2,4)
设L:y-4=k(x-2)
方法一:则x12=4y1,x22=4y2
两式相减可得,4(y1-y2)=(x1-x2)(x1+x2)(8分)
∴直线l的斜率k=
=y1-y2 x1-x2
=1(11分)x1+x2 4
直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0
方法二:联立直线与曲线方程
可得x2-4kx+8k-16=0(*)y-4=k(x-2) x2=4x
△=16(k2-2k+4)>0,显然方程(*)有2个不相等的实数根(8分)
∴x1+x2=4k=4
∴k=1
∴直线L的方程为x-y+2=0(12分)