问题
解答题
已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A（0，-8），顶点C在x轴上运动，M在y轴上，
（1）求B的运动轨迹曲线E的方程； （2）过点P（2，4）的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足
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答案
（1）由
=AM
(1 2
+AB
)可得M为BC的中点（2分）AC
设B（x，y），则M（0，
y），C（-x，0）（4分）1 2
∵C为直角，故
•CB
=0CA
∵
=(2x，y)，CB
=(x，-8)CA
∴2x2-8y=0即x2=4y（5分）
B的轨迹曲线E的方程为x2=4y（（x≠0）6分）
（2）∵
=QP PN
P是QN的中点
设Q（x1，y1），N（x2，y2），线段QN的 中点P（2，4）
设L：y-4=k（x-2）
方法一：则x12=4y1，x22=4y2
两式相减可得，4（y1-y2）=（x1-x2）（x1+x2）（8分）
∴直线l的斜率k=
=y1-y2 x1-x2
=1（11分）x1+x2 4
直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0
方法二：联立直线与曲线方程
可得x2-4kx+8k-16=0（*）y-4=k(x-2) x2=4x
△=16（k2-2k+4）＞0，显然方程（*）有2个不相等的实数根（8分）
∴x1+x2=4k=4
∴k=1
∴直线L的方程为x-y+2=0（12分）