问题
解答题
设定义在R上的函数f（x）=sinnωx+cosnωx（ω＞0，n∈N*）的最小正周期为T．
（1）若n=1，f（1）=1，求T的最大值；
（2）若n=4，T=4，求f（1）的值．
答案
解（1）当n=1，f（1）=1时，sinω+cosω=1（ω＞0），
化简得sin(ω+
)=π 4
，…2分2 2
因为ω＞0，所以(ω+
)min=π 4
，即ωmin=3π 4
，π 2
所以，T的最大值为8．…6分
（2）当n=4时，f（x）=sin4ωx+cos4ωx
=（sin2ωx+cos2ωx）2-2sin2ωxcos2ωx
=1-2（sinωxcosωx）2
=1-
sin22ωx1 2
=1-
(1 2
)1-cos4ωx 2
=
cos4ωx+1 4
（ω＞0），…10分3 4
因为T=
=4，所以ω=2π 4ω
，…12分π 8
此时，f(x)═
cos1 4
+πx 2
，所以f(1)=3 4
．…14分3 4