参考答案：本题可采用以下两种方法证明：
[证法1] 引入辅助函数

则F(0)=0．F(π)=0．又由

因此必存在一点ξ∈(0，π)，使得F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正(或负)，均与

矛盾．
当ξ∈(0，π)时，sinξ≠0，因此F(ξ)=0．综上知
F(0)=F(ξ)=F(π)=0，0＜ξ＜π．
在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理，则至少存在两点ξ₁∈(0，ξ)，ξ₂∈(ξ，π)，使得
F’(ξ₁)=F’(ξ₂)=0，即 f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．
[证法2] 由已知

，知存在ξ₁∈(0，π)，使f(ξ₁)=0．否则f(x)在(0，π)内恒正(或负)。均与

矛盾．若在(0，π)内f(x)仅有一个零点ξ₁，则由

可知f(x)在(0，ξ₁)与(ξ₁，π)内反号．不妨设在(0，ξ₁)内f(x)＞0，在(ξ₁，π)内f(x)＜0，因此由

及cosx在[0，π]上的单调性知

矛盾，由此知在(0，π)内除ξ₁外，f(x)至少还有另一个零点ξ₂，所以存在ξ₁，ξ₂∈(0，π)且ξ₁≠ξ₂，使得f(ξ₁)=f(ξ₂)=0．

解析：[考点提示] 函数零点、罗尔定理、定积分的性质．