（1）由于短轴一个端点到右焦点的距离为3，则a=3…（1分），

因为e=

c

a

=

6

3

…（2分），所以c=

6

…（3分），

所以b²=a²-c²=9-6=3…（4分），

所以椭圆C的方程为：

x2

9

+

y2

3

=1…（5分）

（2）直线方程与椭圆方程联立

x2 9 + y2 3 =1 y=x

（x＞0），解得x=y=

3

2

，即A(

3

2

，

3

2

)…（6分）

以O为顶点的等腰三角形△OAB有两个，此时B为A关于x轴或y轴的对称点…（8分），

以A为顶点的等腰三角形△OAB有两个（9分），此时B为以A为圆心、AO为半径的圆弧与椭圆C的交点…（10分），

以AO为底边的等腰三角形△OAB有两个（11分），此时B为AO的垂直平分线与椭圆C的交点…（12分）．

因为直线y=x倾斜角为

π

4

，所以以上等腰△OAB不可能是等边三角形…（13分），

即以上6个三角形互不相同，存在6个点B，使△OAB为等腰三角形…（14分）．