（1）∵|

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2，

∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=3[（cosα+kcosβ）²+（sinα+ksinβ）²]

得cos(α-β)=

1

2

3k2+1

3k+1

…（4分）

由k＞-

1

3

及|cos（α-β）|≤1，

得1-

2 3

3

≤k≤1+

2 3

3

，

∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)

=

1

2

3k2+1

3k+1

，k∈[1-

2 3

3

，1+

2 3

3

]…（6分）

令3k+1=t，

则t＞0，

k=

1

3

(t-1)代入上式可得

a

•

b

=

1

6

t2-2t+4

t

=

1

6

(t+

4

t

-2)≥

1

6

(2

4

-2)=

1

3

当且仅当t=2，

即k=

1

3

(t-1)时，

取“=”，(

a

•

b

)min=

1

3

…（10分）

（2）当

a

•

b

最小时，

cosθ=

( a + b )•( a -k b )

| a + b || a -k b |

=

( a + b )•( a - 1 3 b )

( a + b )2 ( a - 1 3 b )2

=

a 2- 1 3 b 2+ 2 3 a • b

a 2+ b 2+2 a • b a 2+ 1 9 b 2- 2 3 a • b

…（12分）

将

a

2=1，

b

2=1，

a

•

b

=

1

3

代入上式，

得cosθ=

3

3

，θ=arccos

3

3

即

a

+

b

与

a

-k

b

的夹角为arccos

3

3

…（14分）