证明：分三种情况考虑．

（1）当a、b共线且方向相同时，|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|．

（2）当a、b共线且方向相反时，

∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b），

利用（1）的结论有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|．

（3）当a，b不共线时，设

利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|．

综上得证．