（1）∵函数f(x)=2

3

sinxcosx-2sin2x+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），

令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．

故函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．

（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

 ，

7π

6

]，故当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，函数f（x）取得最小值为-1．

（3）若f(x0)=

6

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]，则有2sin（2x₀+

π

6

）=

6

5

，sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

．

再由（2x₀+

π

6

）为钝角可得cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，

∴sin2x₀ =sin[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=sin（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-cos（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

-

-4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．